Que voy...
A ver, mucha gente suele emplear alegremente expresiones como ∞+∞ ó ∞-∞ como si el infinito fuese un número cualquiera, como el 3 o el -5/7. Y el infinito no sólo no es un número cualquiera, sino que
no es un número.
Este concepto de infinito surge del cálculo de límites de funciones o de sucesiones y simplemente es una manera de denominar una característica que cumplen determinadas funciones y sucesiones —intuitivamente clara pero que es algo más difícil de formalizar—. Pero insisto: el decir que una función tiende a infinito no quiere decir que tienda a un número que denotamos ∞, por lo que si decimos que ∞+∞=∞, en realidad expresamos que la suma de dos funciones o sucesiones que tiendan a infinito también tiende a infinito.
Una vez puntualizado esto, voy a intentar aclarar un poco más la respuesta que le han dado a Tonetti de que ∞-∞ es una «indeterminación».
Como decía antes, se dice que ∞+∞=∞ porque, cualesquiera dos funciones que tiendan a infinito, su suma tiende también a infinito. Y cuando digo cualesquiera es cualesquiera. Sin embargo, esto no pasa con la diferencia de dos funciones que tienden a infinito, ya que puede ocurrir que al restarlas el resultado tienda a +∞, a -∞ o incluso a una constante (esto es, a un número corriente y moliente, como el 0 ó el 7). Por eso se dice que ∞-∞ es indeterminado, ya que no se puede determinar
a priori cúal va a ser su comportamiento —hay otros métodos para saber cómo se va a comportar dicha resta—.
Existen otras indeterminadas, como ∞/∞, ∞ elevado a 0, ó 1 elevado a ∞. Pero repito que el que sean «indeterminaciones» no quiere decir que no se pueda determinar cuál es su límite, sino simplemente que no puede determinarse
a priori adónde va a tender y que habrá que usar otros métodos para averiguarlo —métodos que son bastante sencillitos, por cierto, como ha enumerado Juggernaut—.
Tonetti escribió:PD: La verdá es que la pregunta surgió de un pograma infantil de la tele de los obispos tipo lumis que salían dos retardadas del copón y una le desía a la otra que infinito menos infinito era igual a infinito y me sonó estraño asín que la culpa hay que echarsela siempre a la tele y si la tele falla entose al gobierno de turno.
Pues a veces sí puede ocurrir, pero en general no es cierto que ∞-∞=∞, así que esa afirmación es falsa.
De todos modos, aquí estamos usando una noción de infinito muy de andar por casa. En teoría de conjuntos surgen de manera natural unos números —aquí sí pueden considerarse números— a los que se les suele llamar «cardinales transfinitos» y que, por decirlo de alguna manera, representan los distintos «tipos de infinitos» que hay —vamos, que es como decir que hay infinitos más infinitos que otros—. Además, dichos cardinales poseen también su propia aritmética, coherente con la aritmética de los números naturales. Pero en este caso, no cabría preguntarse cuánto es ∞-∞, ya que no hay un único tipo de infinito.
Si os interesa el tema —que me da que va a ser que no, pero bueno—, da la casualidad de que llevo algunos días pesando en escribir un textito sobre este mismo tema —los número transfinitos y la aritmética del infinito— en
este hilo del forito. A ver si me sacudo la pertinaz pereza que habitualmente me acompaña y me lanzo al ruedo.
