El infinito.
Publicado: 17 Nov 2004 12:32
Bueno, pues como ya amenacé en su día, os voy a soltar un par de rolletes a cuenta del infinito desde un punto meramente matemático —así que nada de filosofía—. Pensaba ponerlo en el forito, pero visto lo visto lo expondré aquí. Este primer capítulo es relativamente básico, así que a cualquier estudiante «de ciencias» es posible que no le diga mucho que no sepa ya.
Antes de empezar, debo hacer notar que se puede usar el concepto de infinito de dos maneras distintas: la que se utiliza al decir algo del tipo «la función 1/x tiende a infinito cuando x tiende a cero» y, otra distinta, la que se maneja al decir algo del tipo «existe una cantidad infinita de números». Esto es, se puede hablar del infinito en el sentido de «función que crece mucho» o en el sentido de «cantidad incontable». Y es en este último sentido en el que me voy a centrar, pues es con diferencia el más interesante.
Tomemos el conjunto de los números naturales, esto es, aquellos que usamos para contar (0, 1, 2, 3...). Este conjunto es infinito. Ahora quedémonos simplemente con el conjunto de los pares (0, 2, 4, 6...), que también es infinito. ¿Cuál de los dos conjuntos tiene mayor número de elementos? En principio, podría parecer que el conjunto de los números pares tiene menos elementos que el de todos los números naturales. Sin embargo, ambos conjuntos tienen igual número de elementos —o igual cardinal, como también se denomina—. ¿Por qué?
En principio, habría que definir qué es el infinito. Uno de los pioneros en el estudio del infinito y su máximo formalizador, Geog Cantor, definió el infinito como el cardinal del conjunto de los números naturales, y así, todo conjunto que fuese comparable a la extensión de los naturales sería también infinito. Y eso de «ser comparable» quiere decir que exista una relación entre ambos conjuntos tal que para cada elemento del primer conjunto exista un único elemento del segundo conjunto relacionado con él y viceversa —llamadas aplicaciones biyectivas o biunívocas—. Y dicha relación entre el conjunto de los pares y el de los naturales existe. Consideremos la siguiente relación:
0 → 0
1 → 2
2 → 4
3 → 6
...
Esto es, la relación que asigna a cada número natural n el número par 2n. Como se ve, con esto es como si cada elemento del conjunto de los pares pudiera unirse con una línea con cada número natural, y si podemos hacer esto, es que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal, esto es, el mismo número de elementos. Lo mismo pasa con los enteros, que son los naturales más sus negativos (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...) y con los racionales, que son los enteros añadiéndoles las fracciones (como pueden ser 1/2 ó –3/5); los cuales, a pesar de tener más elementos que los enteros, pueden encontrarse relaciones biyectivas entre cada uno de estos conjuntos y el de los naturales, por lo que, a pesar de ser de tamaños distintos, todos ellos tienen el mismo cardinal.
Como se ha visto, el infinito tiene un comportamiento bastante diferente al de cualquier magnitud finita. Una manera muy gráfica de ver este extraño comportamiento es mediante el ejemplo de el hotel de Hilbert, denominado así por su creador, David Hilbert, importante impulsor de la sistematización y la búsqueda del rigor matemático. Supongamos un hotel con la pintoresca característica de tener un número infinito de habitaciones. Un día, llega un cliente y se encuentra con que, a pesar de tener infinitas habitaciones, están todas ocupadas. El recepcionista le dice al cliente que no se preocupe, que no hay problema alguno en alojarlo, y pide a todos los clientes del hotel ya alojados que se desplacen a la habitación siguiente, de tal manera que el que se encuentra en la habitación 1 pase a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4 etcétera. De esta manera, se consigue que todos los residentes del hotel sigan teniendo habitación y que encima quede una libre para alojar al recién llegado. Ésta es una manera de ver que infinito más uno es infinito.
Es más, supongamos que llegan al atestado hotel no uno, sino infinitos clientes nuevos. En este caso, tampoco habría problema en alojar a los nuevos: el recepcionista sólo tendría que pedir a los que ya residen en el hotel que se muden a la habitación cuyo número sea el doble de la habitación de la que están actualmente —esto es, que el de la 1 vaya a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6 etcétera—. De esta manera, todos los residentes del hotel siguen teniendo habitación y además quedarán libres un número infinito de habitaciones —todas las impares— en las que podrán hospedarse los recién llegados. De esta manera, se ve que el doble de infinito sigue siendo infinito.
Con todo lo anterior, podría llegar a deducirse que todos los infinitos son iguales y que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo número de elementos.
Pues no.
Consideremos el número de los números reales, que incluye a los naturales, los enteros, los racionales y además todas las raíces (como √2) y otros números algo más exóticos que no pueden expresarse como fracciones ni como raíces, llamados números trascendentes, el más famoso de los cuales es el número pi (π). Bien, pues se puede demostrar que no existe ninguna aplicación biyectiva entre los número naturales y los reales —la demostración es por reducción al absurdo, esto es, se supone que existe dicha aplicación biyectiva y se llega a una contradicción: no es demasiado difícil y se basa en el llamado método de la diagonal de Cantor —método mencionado someramente por Juggernaut aquí— y utiliza el Axioma de Elección —esto último lo explicaré algo más detenidamente en una futura entrega si la vagancia no se ceba demasiado en mí—. La demostración en detalle os la pondré en un mensaje aparte para el lector curioso.
Por tanto, no todos los infinitos son iguales y los hay de distintos tamaños, o dicho de otra manera, hay infinitos más infinitos que otros.
Como curiosidad nomenclatora, a los distintos tipos de infinitos se les denomina con la letra hebrea alef (א) con un subíndice, así, el cardinal de los enteros se llama alef sub cero y los sucesivos cardinales transfinitos serían alef sub uno, alef sub dos etcétera.
Por el momento lo dejaré aquí. En próximos capítulos me adentraré en la Teoría de Conjuntos, dando la definición de número natural, la axiomática de conjuntos, la aritmética transfinita y su relación con las proposiciones indecidibles.
Antes de empezar, debo hacer notar que se puede usar el concepto de infinito de dos maneras distintas: la que se utiliza al decir algo del tipo «la función 1/x tiende a infinito cuando x tiende a cero» y, otra distinta, la que se maneja al decir algo del tipo «existe una cantidad infinita de números». Esto es, se puede hablar del infinito en el sentido de «función que crece mucho» o en el sentido de «cantidad incontable». Y es en este último sentido en el que me voy a centrar, pues es con diferencia el más interesante.
Tomemos el conjunto de los números naturales, esto es, aquellos que usamos para contar (0, 1, 2, 3...). Este conjunto es infinito. Ahora quedémonos simplemente con el conjunto de los pares (0, 2, 4, 6...), que también es infinito. ¿Cuál de los dos conjuntos tiene mayor número de elementos? En principio, podría parecer que el conjunto de los números pares tiene menos elementos que el de todos los números naturales. Sin embargo, ambos conjuntos tienen igual número de elementos —o igual cardinal, como también se denomina—. ¿Por qué?
En principio, habría que definir qué es el infinito. Uno de los pioneros en el estudio del infinito y su máximo formalizador, Geog Cantor, definió el infinito como el cardinal del conjunto de los números naturales, y así, todo conjunto que fuese comparable a la extensión de los naturales sería también infinito. Y eso de «ser comparable» quiere decir que exista una relación entre ambos conjuntos tal que para cada elemento del primer conjunto exista un único elemento del segundo conjunto relacionado con él y viceversa —llamadas aplicaciones biyectivas o biunívocas—. Y dicha relación entre el conjunto de los pares y el de los naturales existe. Consideremos la siguiente relación:
0 → 0
1 → 2
2 → 4
3 → 6
...
Esto es, la relación que asigna a cada número natural n el número par 2n. Como se ve, con esto es como si cada elemento del conjunto de los pares pudiera unirse con una línea con cada número natural, y si podemos hacer esto, es que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal, esto es, el mismo número de elementos. Lo mismo pasa con los enteros, que son los naturales más sus negativos (... -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...) y con los racionales, que son los enteros añadiéndoles las fracciones (como pueden ser 1/2 ó –3/5); los cuales, a pesar de tener más elementos que los enteros, pueden encontrarse relaciones biyectivas entre cada uno de estos conjuntos y el de los naturales, por lo que, a pesar de ser de tamaños distintos, todos ellos tienen el mismo cardinal.
Como se ha visto, el infinito tiene un comportamiento bastante diferente al de cualquier magnitud finita. Una manera muy gráfica de ver este extraño comportamiento es mediante el ejemplo de el hotel de Hilbert, denominado así por su creador, David Hilbert, importante impulsor de la sistematización y la búsqueda del rigor matemático. Supongamos un hotel con la pintoresca característica de tener un número infinito de habitaciones. Un día, llega un cliente y se encuentra con que, a pesar de tener infinitas habitaciones, están todas ocupadas. El recepcionista le dice al cliente que no se preocupe, que no hay problema alguno en alojarlo, y pide a todos los clientes del hotel ya alojados que se desplacen a la habitación siguiente, de tal manera que el que se encuentra en la habitación 1 pase a la 2, el de la 2 a la 3, el de la 3 a la 4 etcétera. De esta manera, se consigue que todos los residentes del hotel sigan teniendo habitación y que encima quede una libre para alojar al recién llegado. Ésta es una manera de ver que infinito más uno es infinito.
Es más, supongamos que llegan al atestado hotel no uno, sino infinitos clientes nuevos. En este caso, tampoco habría problema en alojar a los nuevos: el recepcionista sólo tendría que pedir a los que ya residen en el hotel que se muden a la habitación cuyo número sea el doble de la habitación de la que están actualmente —esto es, que el de la 1 vaya a la 2, el de la 2 a la 4, el de la 3 a la 6 etcétera—. De esta manera, todos los residentes del hotel siguen teniendo habitación y además quedarán libres un número infinito de habitaciones —todas las impares— en las que podrán hospedarse los recién llegados. De esta manera, se ve que el doble de infinito sigue siendo infinito.
Con todo lo anterior, podría llegar a deducirse que todos los infinitos son iguales y que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo número de elementos.
Pues no.
Consideremos el número de los números reales, que incluye a los naturales, los enteros, los racionales y además todas las raíces (como √2) y otros números algo más exóticos que no pueden expresarse como fracciones ni como raíces, llamados números trascendentes, el más famoso de los cuales es el número pi (π). Bien, pues se puede demostrar que no existe ninguna aplicación biyectiva entre los número naturales y los reales —la demostración es por reducción al absurdo, esto es, se supone que existe dicha aplicación biyectiva y se llega a una contradicción: no es demasiado difícil y se basa en el llamado método de la diagonal de Cantor —método mencionado someramente por Juggernaut aquí— y utiliza el Axioma de Elección —esto último lo explicaré algo más detenidamente en una futura entrega si la vagancia no se ceba demasiado en mí—. La demostración en detalle os la pondré en un mensaje aparte para el lector curioso.
Por tanto, no todos los infinitos son iguales y los hay de distintos tamaños, o dicho de otra manera, hay infinitos más infinitos que otros.
Como curiosidad nomenclatora, a los distintos tipos de infinitos se les denomina con la letra hebrea alef (א) con un subíndice, así, el cardinal de los enteros se llama alef sub cero y los sucesivos cardinales transfinitos serían alef sub uno, alef sub dos etcétera.
Por el momento lo dejaré aquí. En próximos capítulos me adentraré en la Teoría de Conjuntos, dando la definición de número natural, la axiomática de conjuntos, la aritmética transfinita y su relación con las proposiciones indecidibles.