Prez escribió:Efectivamente, que el tiempo o el espacio sea continuo o discreto es irrelevante. La falacia del argumento está en suponer que la suma de infinitas cantidades ha de ser necesariamente una cantidad infinita. Era algo en lo que pensaba extenderme en otro momento —no quería abrir demasiados frentes—, pero aun así sigo buscando ese artículo que daba una explicación de lo contrario a ver si encuentro el fallo de la demostración.
Me llena de alivio que alguien que parece saber de matemáticas diga expresamente que es acertada la refutación anterior. Es que otras veces, discutiendo esto, me ha parecido que me miraban con reproche por no quedar deslumbrada de lo guay que es la paradoja, y pensar y manifestar que su falsedad era fácilmente explicable.
Prez escribió:Pero es que yo no estoy de acuerdo con eso de que «en un conjunto infinito, la parte es tan infinita como el todo». Y la demostración de que no hay la misma cantidad de números naturales que reales ya la puse en mi segundo mensaje. De todos modos, y volviendo un poco a lo que decía antes, este resultado es cierto en la axiomática ZFC, ya que sin el Axioma de Elección que mencionaba anteriormente, esa demostración no es válida.
Sin embargo, a mí me parece una afirmación lógica. Es evidente que hay algo que no acabo de captar. Tal como yo concibo o entiendo la definición de infinito, una serie dentro de otra serie infinita debería ser normalmente infinita, también.
Prez escribió:Y no son arbitrarias. Se eligen para pretender explicar ideas intuitivas generalemente aceptadas.Si quieres, cuando enuncie los axiomas podemos discutir si te parecen «razonables» o no.
A veces serán arbitrarias, aunque en general no lo sean, y para mí el concepto matemático de «infinito» no es exactamente intuitivo. Quiero decir que yo no lo intuyo, vamos.
Prez escribió:¡Ah! ¿Que poniendo estas cosas no se liga? Pues vaya por Dios, voy a tener que buscarme otra manera.
Pues hombre, si te lo vas a tomar así:
¡Tío bueno, macizo! Pásssssame ya tu número de teléfono y déjate de tonterías.
PS: Nicotin: se hable de lo que se hable tú sacas a relucir las leyes. Lo tuyo no tiene remedio.
PS: Nicotin: se hable de lo que se hable tú sacas a relucir las leyes. Lo tuyo no tiene remedio.
No, es que, sencillamente, veo que tienes problemas cuando la cosa se vuelve demasiado abstracta.
Por ejemplo:
y para mí el concepto matemático de «infinito» no es exactamente intuitivo. Quiero decir que yo no lo intuyo, vamos.
Esta frase, por señalar alguna, deja bien claro que sólo sabes moverte entre conceptos precisos extraídos de los libros que amorosamente guardas bajo la almohada.
Evidentemente, por muy empollona que seas, hay un umbral de abstracción a partir de cual se te nota bastante perdida.
The bigger the headache, the bigger the pill. Call me the big pill.
Bien, pues aquí va la segunda parte de mi exposición, más intragable aún que la primera.
Ya ha quedado establecido que existen distintos al menos dos tipos de infinitos. Ahora cabe preguntarse ¿existen más tipos de infinitos?, en caso afirmativo ¿cuántos?
En efecto, existen más tipos de infinitos. Para verlo, vamos a ir haciendo lo siguiente: vamos a dar la definición formal de los números naturales, y a partir de ellos vamos a ir «construyendo» nuevos conjuntos cada vez más grandes. Pero antes de ello, debemos saber cómo se «construyen» los conjuntos. Es por esto por lo que en este capítulo simplemente voy a enumerar cuáles son los axiomas de la Teoría de Conjuntos —en concreto, con la llamada Axiomática Zermelo-Fraenkel con Axioma de Elección (ZFC) que mencioné antes, que es la más ampliamente aceptada—, con los que vamos a trabajar. Son diez y son los siguientes:
—Axioma de existencia: Existe un conjunto que no tiene elementos. Obviamente este axioma es necesario para asegurarnos de que no estamos trabajando en un universo vacío. Sólo es necesario postular la existencia del conjunto vacío, pues el resto de conjuntos aparecerá como consecuencia de axiomas posteriores.
—Axioma de extensionalidad: Si cada elemento del conjunto X es un elemento del conjunto Y y cada elemento de Y es elemento de X, entonces X=Y. Aquí determinamos cuándo dos conjuntos son iguales: si tienen exactamente los mismos elementos.
—Esquema de axioma de comprehensión: Supongamos una propiedad P de x. Para cada conjunto A existe un conjunto B tal que x pertenece a B si y sólo si x pertenece a A y x cumple la propiedad B. Lo anterior es una manera algo enrevesada de decir que para cada propiedad existe el conjunto de los elementos que cumplen dicha propiedad. Por ejemplo, si tenemos la propiedad «coche de color verde», este axioma nos garantiza la existencia del «conjunto de los coches de color verde».
Quiero hacer notar que existe la restricción de que los elementos han de pertenecer a un conjunto que previamente conozcamos. Esto se hace porque si no se incluyese esta restricción, aparecerían inconsistencias como la Paradoja de Russell (*).
Y si os fijáis en el enunciado, no pone «axioma», sino «esquema de axioma». Esto es porque en realidad no es un único axioma, sino que por cada propiedad P tenemos un axioma.
—Axioma del par no ordenado: Para cualesquiera conjuntos A y B, existe un conjunto C tal que x pertenece a C si y sólo si x=A o x=B. Si tenemos los conjuntos A y B, este axioma postula la existencia del conjunto C={A, B}.
—Axioma de unión: Para cada conjunto S existe un conjunto U tal que x pertenece a U si y sólo si x pertenece a A para algún A perteneciente a S. Aquí decimos que la unión de un sistema de conjuntos es también un conjunto.
—Axioma del conjunto potencia: Para todo conjunto S, existe un conjunto P tal que X pertenece a P si y sólo si X es subconjunto de S. Aquí, dado un conjunto S, aseguramos la existencia del conjunto formado por todos los subconjuntos de S.
—Axioma del infinito: Existe algún conjunto inductivo. Este axioma es crucial para el tema que estamos tratando: la infinitud de los conjuntos. Lo primero, ¿qué es un conjunto inductivo? Es un conjunto que cumple estas dos propiedades:
(i) Contiene al 0.
(ii) Si contiene a un número natural n, entonces contiene a n+1.
Hay que tener en cuenta que, hasta el momento, no he definido qué es el 0 ni ningún otro número natural, así que la definición de conjunto inductivo estará «en el aire» hasta que no los defina en el capítulo siguiente.
Con este axioma, nos garantizamos la existencia de conjuntos inductivos y en particular, del conjunto N de todos los número naturales, pues se demuestra que N es el más pequeño de todos los conjuntos inductivos.
—Axioma de regularidad: Todo conjunto no vacío posee siempre al menos un elemento que no contiene a ningún otro elemento de la clase. Con este axioma evitamos conjuntos con propiedades «indeseables», como que un conjunto sea elemento de sí mismo o que dos conjuntos se tengan el uno al otro mutuamente como elementos.
—Esquema de axioma de reemplazamiento: La imagen de un conjunto por una función es un conjunto. Aquí tenemos otro esquema de axiomas —esto es, en realidad tenemos un axioma por cada función—. Es un axioma «técnico» y no me voy a extender con él, ya que escapa al propósito de estos muermos que estoy soltando e implicaría definir conceptos como el de función, con lo que todo esto quedaría aún más infumable.
—Axioma de elección: Para cada sistema de conjuntos existe una función de elección. Para acabar, el que seguramente es el axioma más famoso y controvertido de todos. Controvertido porque asegura la existencia de ciertos conjuntos pero no dice cómo construirlos —como sí hacen el resto de axiomas—. De hecho, algunos matemáticos —los menos— plantean objeciones a su uso.
El axioma viene a decir que para cualquier colección de conjuntos podemos tomar un elemento de cada uno de ellos y formar un nuevo conjunto. Para los que sepan algo del tema, indico que este axioma es equivalente al Lema de Zorn y al Principio de Buena Ordenación, y su importancia es tal que sin él no podríamos garantizar cosas como la existencia de una base en un espacio vectorial.
Bueno, estos son los axiomas con los que vamos a trabajar. Ha quedado un poco coñazo este capítulo —o mejor dicho, más coñazo que el resto—, pero tampoco viene mal que se sepa que toda la matemática se basa en simplemente diez axiomas y que os suenen sus nombres. En el próximo empezaremos a construirnos los números naturales usando únicamente estos axiomas y a partir de ellos formaremos conjuntos cada vez más grandes.
(*) La paradoja de Russell puede enunciarse de la manera siguiente: sea C «el conjunto de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos como elementos». Entonces, ¿pertenece C a sí mismo o no? Si perteneciese, por la definición de C no debería pertenecer. Y si no perteneciese, querría decir que no cumple la definición de C, con lo que sí pertenecería. Así que, tanto si afirmamos que C pertenece a sí mismo como si afirmamos lo contrario llegamos a una contradicción. Para evitar esta paradoja y otras similares es por lo que se reformula el axioma de comprehensión y se incluye el axioma de regularidad. Una manera más asequible de ver esto es la llamada «paradoja del barbero». Supongamos que en un pueblo existe un barbero que afeita a todos los que no se afeitan a sí mismos. Entonces, ¿quién afeita al barbero?
Joder, lo único que me ha sonado de algo lejano es eso del principio de buena ordenación, que me da a mi que es lo mismo que se usa en verificación formal de algoritmos para garantizar que una función recursiva acaba (De hecho, se hace con una demostración por inducción, tema en el que creo que vamos a acabar cayendo tarde o temprano).
Ay, no, que a eso, el subhumano que daba Programación Metódica en la facultad de Informática lo llamaba "Preordre ben fonamentat". O son cosas de la traducción, o estoy meando fuera de tiesto.
Este es un mundo de estúpidos, controlados por imbéciles, para beneficio de mediocres.
Pues de eso nada. Aquí viene otro capítulo de esta trepidante saga capaz de matar de aburrimiento hasta a Punset.
A ver; hasta ahora he utilizado como ejemplos distintos conjuntos de números. Pero, parándonos a pensar un poco, ¿qué es exactamente un número? Como he mencionado anteriormente, gran parte de los números pueden construirse a partir de otros números. Así, los números reales surgen a partir de raíces y sucesiones de números racionales; a su vez, los números racionales surgen como cocientes de números enteros y los números enteros aparecen como números naturales con un signo. ¿Pero, de donde vienen los números naturales? Durante siglos los matemáticos utilizaron los números, que eran nociones intuitivas pero que no fueron formalizados a partir de la Teoría de Conjuntos hasta finales del siglo XIX.
Así, a partir de la noción de conjunto, ¿cómo puede definirse el número 3? Una primera idea podría ser llamar «3» al conjunto de todos los conjunto con tres elementos. Pero esta definición no nos valdría ya que incluye en su enunciado el concepto que se pretende definir, esto es, el 3. Para solventar este problema, podría considerarse un único conjunto de tres elementos y llamar «3» al conjunto de todos los conjuntos que poseen una aplicación biyectiva entre ellos y el conjunto elegido, y así evitaríamos la circularidad de la definición anterior. Pues vamos a ponernos manos a la obra, utilizando nada más los axiomas de la Teoría Axiomática de Conjuntos ZFC que enumeré en mi último mensaje de este hilo.
Por el Axioma del Vacío, existe un conjunto sin elementos, al que denotaremos como Ø. Bien, pues vamos a definir el cero como el conjunto de los conjuntos que pueden ponerse en biyección con el conjunto vacío —esto es, para los que existe una aplicación biyectiva entre ellos—. En este caso, sólo habría un conjunto: el propio Ø. Así que 0=Ø.
Por el Axioma de Potencia, y puesto que existe Ø, también existe el conjunto cuyo único elemento es el 0, esto es, {0}={Ø}. Pues vamos a definir el uno como el conjunto de los conjuntos que pueden ponerse en biyección con el conjunto anterior. De entre todos los conjuntos que cumplen esta propiedad, elegimos como representante el conjunto {0}, y así podemos considerar que 1={0}.
Ahora, y de nuevo por el Axioma de Potencia, existe el conjunto {Ø, {Ø}}, que elegiremos como representante del número 2, así que 2={Ø, {Ø}}={0, 1}.
Análogamente 3={Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}={0, 1, 2}, 4={Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}, {Ø, {Ø}, {Ø, {Ø}}}}={0, 1, 2, 3} y así sucesivamente. O dicho más breve e informalmente, se define cada número natural como el conjunto cuyos elementos son todos los números naturales que son menores que él.
Bueno, pues ya tenemos a cada uno de los números naturales, y el conjunto de todos los números naturales sería la unión de todos ellos —para crear este conjunto serían necesarios además el Axioma de la Unión y el Axioma del Infinito—, y a su cardinal se le denomina alef sub cero (אo).
Ya tenemos formalizados los números naturales y hemos asignado nombre al cardinal del conjunto que los contiene a todos. Ahora vamos a ver algunas propiedad de su peculiar aritmética, que aun siendo compatible con la aritmética de los números finitos no tiene las mismas propiedades.
n + אo = אo אo + אo = אo n · אo = אo אo · אo = אo אo elevado a n = אo con n un número natural distinto de cero cualquiera.
En el primer mensaje de este hilo ya vimos que el conjunto de los números naturales tiene el mismo cardinal que el conjunto de los enteros, y que el conjunto de los racionales, pero que, sin embargo, los reales tenían un cardinal superior. ¿Y cuál es el cardinal de los números reales? Pues 2 elevado a אo. Una manera intuitiva de ver por qué ocurre esto es haciendo algo parecido a lo que relataba en el segundo mensaje de este hilo para ver que el intervalo (0,1) no tiene el mismo cardinal que los naturales: si usamos la notación decimal en base 2, todo número real en el intervalo (0,1) puede expresarse como una sucesión de ceros y unos, así que este conjunto es «similar en tamaño» al conjunto de todas las sucesiones de ceros y unos, esto es, al conjunto {0,1} elevado a N, siendo N el conjunto de los naturales —todo esto que he dicho en este párrafo es terriblemente informal, habría que completar bastante esta idea—.
En vista del extraño comportamiento que tienen los cardinales infinitos, en los que pasan cosas tan extrañas como אo + אo = אo, cabría preguntarse si no pasa algo similar con la potenciación, esto es, si ocurre que 2 elevado a אo es igual a אo. La respuesta es negativa. Se tiene que אo < 2 elevado a אo —esto se basa en el hecho de que el conjunto potencia de un conjunto S tiene como cardinal 2 elevado al cardinal de S—.
Bueno, pues en resumen, hemos quedado en que si llamamos al cardinal de los naturales אo, el cardinal de los reales es 2 elevado a אo, que es mayor que אo.
A la vista de esto, surgen algunas preguntas. ¿Existen cardinales mayores a estos? Puesto que sabemos que אo es el cardinal infinito más pequeño, ¿existe algún cardinal entre אo y 2 elevado a אo?
Las respuestas a estas y otras preguntas próximamente en sus pantallas. Como adelanto, la respuesta a la primera pregunta es afirmativa, y la respuesta a la segunda da pie a una de las cuestiones más sorprendentes e inquietantes de la matemática...
