El infinito.

[Juggernaut]

Supongamos que tu echas una carrera contra una tortuga, y que corres 10 veces mas deprisa que ella. Por ello, la dejas 10 metros de ventaja. ¿Llegaras alguna vez a adelantar a la tortuga?

Segunda de las paradojas de Zenon. Nunca consegui superar la tercera. Quien me explico las otras dos no se acordaba bien de esa y encima se durmio.

Siempre me hizo gracia eso de que los griegos no supieran superar esas paradojas. Al parecer, dice la historia que un filosofo griego, al oir las paradojas (que iban contra la existencia del movimiento) y no conseguir encontrar el fallo, se levanto y se puso a andar como unica manera de demosytar qiue Zenon se equivocaba en algo.

De esto ya se habló en cierto post del forito.
Alguien comentó (No era Monty? o Prez?) Que se llamaba la "aporía de Aquiles y la tortuga". Y como bien se dijo entonces, mucha gente lo utiliza como una demostración de que el espacio (y como corolario, el tiempo) está "parcelado".

Precisamente, esta paradoja aparece en el momento en que supones que puedes dividir el espacio de forma infinita. Dándole la vuelta a la ecuación, también estás suponiendo que puedes dividir el tiempo de forma infinita (pues en el acto de alcanzar a otro que va más lento, debes alcanzar el mismo espacio en dos de las dimensiones, al mismo tiempo).

El hecho de llegar a una contradicción nos dice que esa suposición de base es, pues, falsa. (Bueno, si me poseyera el espíritu de los que llevan este post, diría que debido a la regla de aparición de la negación en CP0, o lógica proposicional de orden cero, es decir, sin cualificadores universales ni existenciales, dado que suponiendo un enunciado A definido como "El espacio se puede dividir infinitamente" se llega por utilización de implicaciones a una contradicción, se puede deducir ¬A, que se traduce en que "El espacio no se puede dividir infinitamente")

Y la última es una pregunta que saco al aire: Me parece que la idea al final es demostrar que el espacio y el tiempo son una expresión de la energía, y esta YA se ha demostrado que está parcelada (cuantificada), por tanto es del todo punto lógico suponer que tanto el espacio como el tiempo están, pues, también cuantificados, ¿no?

Bueno, que venga alguno que sepa decir las cosas con el rigor que a mi me falta, y lo ponga bien escrito.

PD: Recuerdo que en aquel entonces saqué a mi pobre alter ego. Pobre Mística, algún día debería desenpolvarla, debe haber perdido todos sus poderes ya.

[Juggernaut]

Mola!

¡Mazo!

Y chana que te pedes!

Tenía otra... qué tiene más puntos... una esfera o un plano?

Je.

A ve quien se lo sabe.

Ya saben, busquen una aplicación biyectiva tal que cada punto del plano quede correspondido por un y sólo un punto de la esfera... y miren a quien le quedan puntos de sobra.

la solución es que la esfera tiene un punto más que el plano.

A ver quien pone cómo se saca eso.

[Penetreitor]

mmm

asi de primeras, no serian dos puntos? los que equivalen a las tapaderas del cilindro en que transformaria al plano que envuelve a la esfera no existen, aun reduciendolas hasta envolver la esfera

digo yo vamos

que de esto ya estoy un poco olvidao.

[Penetreitor]

ah vale, ya lo acabo de leer

la proyección de riemann... bueno, mas o menos parecido

[Juggernaut]

mmm

asi de primeras, no serian dos puntos? los que equivalen a las tapaderas del cilindro en que transformaria al plano que envuelve a la esfera no existen, aun reduciendolas hasta envolver la esfera

digo yo vamos

que de esto ya estoy un poco olvidao.

No es mala idea, pero para convertir el plano en tu cilindro, primero te falta...

jejejeje...

convencerme de que un plano y un cilindro son lo mismo...

jejejeje

y sabes como?

jejejejejejeje...

Explicándome otra aplicación de un plano a un cilindro!
Y luego me pones la de la esfera al cilindro, y te creo.

[Prez]

Como no dejéis de picarme no voy a poder continuar nunca.

Consideremos el número de los números reales, que incluye a los naturales, los enteros, los racionales y además todas las raíces (como √2)

Con animo de tocar las narices un poco, he de decir que esa afirmacion ha sido demasiado ligera.
Los numeros reales no incluyen todas las raices. (por ejemplo √-1)
Para ello estan los complejos.

Tienes razón. Olvidé puntualizar que se trataba de raíces de números positivos. Buf, me voy haciendo cada vez menos riguroso. A este paso voy a acabar pareciéndome a un ingeniero —je—.

Y la última es una pregunta que saco al aire: Me parece que la idea al final es demostrar que el espacio y el tiempo son una expresión de la energía, y esta YA se ha demostrado que está parcelada (cuantificada), por tanto es del todo punto lógico suponer que tanto el espacio como el tiempo están, pues, también cuantificados, ¿no?

Creo que no te entiendo. ¿Por qué el espacio y el tiempo son una expresión de la energía?

Tenía otra... qué tiene más puntos... una esfera o un plano?

la solución es que la esfera tiene un punto más que el plano.

¡Mec! Error.

A ver, que esto es bastante sutil. Seguramente estés pensando, como ha dicho Penetreitor, en la proyección estereográfica o proyección de Riemann. Y sí, efectivamente dicha aplicación es una biyeción entre la esfera menos un punto y el plano. Pero que exista dicha biyección, no quiere decir que no exista otra entre la esfera completa y el plano. Y existe. Así, a bote pronto y dejando por pulir el tema de los «bordes», si partimos la esfera en dos hemisferios, cada uno de ellos puede ponerse en biyección con sendos círculos del plano —mediante una proyección normal y corriente—, que pueden a su vez ponerse en correspondencia entre sí y con el plano completo.

Además, ¿no había dicho antes que infinito más uno es infinito? ¡Muy mal! ¡No has estado atendiendo en clase! Escribe mil veces «Infinito más uno es infinito». Sin usar bucles for ni while —y ni hablar de gotos—.

Para el que tenga curiosidad, esta es la proyección estereográfica.



Según el dibujo, es la que asigna a cada punto P de la esfera el punto del plano P'. Nótese que el punto N queda sin asignar.

Seguramente te haya confundido el haber visto escrito eso de que «un plano más un punto es una esfera». Y eso es así, pero desde un punto de vista topológico, ya que si bien existe una biyección entre la esfera completa y el plano, no existe ninguna que sea continua. A lo máximo que se puede llegar con continuidad es a la esfera menos un punto, mediante la proyección estereográfica.

Pero repito, prescindiendo de consideraciones topológicas, la esfera y el plano tienen el mismo número de puntos.

Con su permiso me apunto al post, aunque me temo que tendré que esperar aún un par de semanas hasta poder extenderme con el tema tanto como me gustaría. Solo quiero incidir en algo que no me parece del todo cierto, si se puede hablar en estos términos:

(...)los números reales y su distribución en la recta no son sino una entelequia matemática, y no una correspondencia absoluta con el mundo real.

La mecánica cuántica es un análisis del mundo real, con sus limitaciones, y los números reales representan, sin duda, una verdad en esta microvisión de la materia. Reservenme ustedes cita para una divulgación breve de los espacios de Hilbert que ilustre este comentario -espacios de dimensiones infinitas gobernados por funciones de resultados discretos-.

Un saludo.

Mmm, no sé si estoy de acuerdo, pero esperaré a su explicación sobre los espacios de Hilbert para decantarme —y así aprovecho y hago por recordar algo de ellos, que los he olvidado casi por completo—.

Y sobre las aporías de Zenon creo que comenté alguna vez algo sobre ellas; a ver si me da el punto y escribo algo sobre ellas en un hilo aparte, pero he de decir que un artículo que leí no hace mucho me ha hecho ver que quizá no estén tan superadas como yo pensaba.

[Sirena Coja]

En principio, habría que definir qué es el infinito. Uno de los pioneros en el estudio del infinito y su máximo formalizador, Geog Cantor, definió el infinito como el cardinal del conjunto de los números naturales, y así, todo conjunto que fuese comparable a la extensión de los naturales sería también infinito. Y eso de «ser comparable» quiere decir que exista una relación entre ambos conjuntos tal que para cada elemento del primer conjunto exista un único elemento del segundo conjunto relacionado con él y viceversa —llamadas aplicaciones biyectivas o biunívocas—. Y dicha relación entre el conjunto de los pares y el de los naturales existe.

(...) Como se ve, con esto es como si cada elemento del conjunto de los pares pudiera unirse con una línea con cada número natural, y si podemos hacer esto, es que ambos conjuntos tienen el mismo cardinal, esto es, el mismo número de elementos.

Con todo lo anterior, podría llegar a deducirse que todos los infinitos son iguales y que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo número de elementos.

Pues no.

(...) no todos los infinitos son iguales y los hay de distintos tamaños, o dicho de otra manera, hay infinitos más infinitos que otros.

Pero entonces, por lo que veo, todo depende de que previamente fijemos unas reglas arbitrarias y dogmáticas («el infinito es el cardinal del conjunto de los números naturales», y «todo conjunto que sea comparable a la extensión de los naturales será también infinito»), y unas definiciones también dogmáticas de los términos empleados.

Sólo así puedo entender que sea necesario refutar la aporía de Aquiles y la tortuga (a Dios pongo por testigo de que nunca pensé encontrar en un foro discusiones, o conversaciones siquiera, sobre las aporías eleáticas) más allá de la simple refutación de John Stuart Mill, de hace ya tanto tiempo.

A saber: al defender que Aquiles no puede alcanzar a la tortuga porque el espacio que ha de recorrer o el tiempo que ha de transcurrir para alcanzarla es infinitamente divisible, se está confundiendo «infinito» con «infinitamente divisible». No entiendo la afirmación de Jugger de que esta paradoja se refuta porque el tiempo o el espacio no se pueden dividir infinitamente. Qué más da eso: seguirían sin ser «infinitos», solamente serían «infinitamente divisibles», que es una cualidad diferente.

Igualmente me parece incongruente que se afirme por un lado que el conjunto de los números reales es un infinito más grande que el conjunto de los números naturales, y sin embargo el número de puntos de una recta más corta es igual de infinito que el numero de puntos de una recta más larga. Yo no tengo problemas en captar la idea de que cuando dos series son infinitas el número de sus componentes es el mismo, y ya había oído eso de que «en un conjunto infinito, la parte es tan infinita como el todo». Y me parece muy bien, hasta que alguien llega y dice «pero el conjunto de los números naturales, que es una parte del todo constituido por el conjunto de los números reales, es una parte infinita más pequeña que el todo infinito».

Vamos, que es un cachondeo. O dicho de otro modo, y vuelvo a la idea del principio: alguien ha establecido unas reglas previas, arbitrarias, y jugamos con ellas. Que yo eso lo puedo entender, y seguir, y hasta divertirme con ello, como ahora mismo me está pasando. Pero no deja de ser un juego.

Así que por seguir el juego, dejo un enlace con el texto de «Lo que la tortuga dijo a Aquiles», historia que supongo será conocida por varios de los que leen este hilo, pero puede resultar una novedad para algún otro. Aunque he leído varias veces que Lewis Carroll quería presentar en esta historia un problema filosófico-matemático en clave de humor y no sé qué más, a mí me parece que más bien estaba abundando en el cachondeo. Pero doctores tiene la Iglesia...

Como contrapartida, voy a recordar —esto de memoria— una anecdotilla de Sáenz de Oíza, el arquitecto, que contaba que con ocasión de cortejar a la que luego fue su esposa, iba con ella de paseo por el campo y esas cosas, a la vera de un camino (rural, claro), y pasó una moto y va el Sáenz y le dice a la novia: «Nosécuantita, demuéstrame que esa moto anda». Y va Nosécuantita y contesta: «Fíjate si te demuestro que anda, que ya no está aquí». En su día, me quedé con los ojos a cuadros de que un individuo pretendiese y, lo que es más increíble, consiguiese, ligarse a una chica con esta clase de conversación. Son los estragos de una educación católica, seguramente. Ahora, cuando he recordado la anécdota en relación con este hilo sobre el infinito, veo claramente que Nosécuantita, creyendo sin duda que se cachondeaba del pretendiente, estaba haciendo filosofía. Y matemáticas. Qué tía.

[Prez]

Pero entonces, por lo que veo, todo depende de que previamente fijemos unas reglas arbitrarias y dogmáticas («el infinito es el cardinal del conjunto de los números naturales», y «todo conjunto que sea comparable a la extensión de los naturales será también infinito»), y unas definiciones también dogmáticas de los términos empleados.

Efectivamente, así es. Verás, toda la matemática se basa en un conjunto de afirmaciones que se ofrecen sin demostrar, llamadas axiomas. En concreto, la matemática que usamos casi todo el mundo se basa —aunque no seamos conscientes— en un sistema axiomático llamado Axiomática de Zermelo-Fraenkel con Axioma de Elección (ZFC para los amigos).

¿Por qué son necesarios unos axiomas indemostrados? Porque si la demostración a un teorema se basa a unos teoremas previos, y estos teoremas previos se basan en otros anteriores etcétera, este proceso no puede durar indefinidamente, por lo que es necesario que haya algo que se considere una verdad en sí misma y que no deba ser demostrado. Es algo así como jugar al ajedrez: antes de ponernos a jugar debemos ponernos todos de acuerdo con las normas, y una vez aceptadas dichas normas nos ponemos a jugar.

¿Y cómo se hacía matemáticas antes de que surgiese la Teoría de Conjuntos allá por el siglo XIX? Pues basándose en conceptos intuitivos, que la Teoría de Conjuntos no hizo sino sistematizar y hacer rigurosos.

Pero tú me diras: ¿y qué pasa si cambio los axiomas? Pues nada, que obtendrás «otra» matemática, nada más. Eso sí, obviamente tu teoría axiomática deberá estar libre de contradicciones, pero por lo demás no hay problema. De hecho, existen otras axiomáticas. Por ejemplo, existen axiomáticas con y sin Axioma de Elección y axiomáticas con y sin Hipótesis del Continuo —en futuras entregas explicaré estos conceptos—. Pero si generalmente se utiliza la axiomática ZFC es porque es la que más se amolda a la noción de matemáticas que se viene usando desde Mesopotamia y Grecia hasta la actualidad.

Y sobre la definición concreta del concepto de infinito, lo que expuse antes es una definición de andar por casa basada en un axioma llamado Axioma del Infinito. En el próximo capítulo pensaba exponer someramente los axiomas de la Teoría de Conjuntos, y ahí explicaré un poco todo esto.

Sólo así puedo entender que sea necesario refutar la aporía de Aquiles y la tortuga (a Dios pongo por testigo de que nunca pensé encontrar en un foro discusiones, o conversaciones siquiera, sobre las aporías eleáticas) más allá de la simple refutación de John Stuart Mill, de hace ya tanto tiempo.

A saber: al defender que Aquiles no puede alcanzar a la tortuga porque el espacio que ha de recorrer o el tiempo que ha de transcurrir para alcanzarla es infinitamente divisible, se está confundiendo «infinito» con «infinitamente divisible». No entiendo la afirmación de Jugger de que esta paradoja se refuta porque el tiempo o el espacio no se pueden dividir infinitamente. Qué más da eso: seguirían sin ser «infinitos», solamente serían «infinitamente divisibles», que es una cualidad diferente.

Efectivamente, que el tiempo o el espacio sea continuo o discreto es irrelevante. La falacia del argumento está en suponer que la suma de infinitas cantidades ha de ser necesariamente una cantidad infinita. Era algo en lo que pensaba extenderme en otro momento —no quería abrir demasiados frentes—, pero aun así sigo buscando ese artículo que daba una explicación de lo contrario a ver si encuentro el fallo de la demostración.

Igualmente me parece incongruente que se afirme por un lado que el conjunto de los números reales es un infinito más grande que el conjunto de los números naturales, y sin embargo el número de puntos de una recta más corta es igual de infinito que el numero de puntos de una recta más larga. Yo no tengo problemas en captar la idea de que cuando dos series son infinitas el número de sus componentes es el mismo, y ya había oído eso de que «en un conjunto infinito, la parte es tan infinita como el todo». Y me parece muy bien, hasta que alguien llega y dice «pero el conjunto de los números naturales, que es una parte del todo constituido por el conjunto de los números reales, es una parte infinita más pequeña que el todo infinito».

Pero es que yo no estoy de acuerdo con eso de que «en un conjunto infinito, la parte es tan infinita como el todo». Y la demostración de que no hay la misma cantidad de números naturales que reales ya la puse en mi segundo mensaje. De todos modos, y volviendo un poco a lo que decía antes, este resultado es cierto en la axiomática ZFC, ya que sin el Axioma de Elección que mencionaba anteriormente, esa demostración no es válida.

Vamos, que es un cachondeo. O dicho de otro modo, y vuelvo a la idea del principio: alguien ha establecido unas reglas previas, arbitrarias, y jugamos con ellas. Que yo eso lo puedo entender, y seguir, y hasta divertirme con ello, como ahora mismo me está pasando. Pero no deja de ser un juego.

Pero es que las reglas previas —los axiomas— son necesarias. Sin ellas, no habría matemática. Para demostrar algo, debes basarte en otro algo.

Y no son arbitrarias. Se eligen para pretender explicar ideas intuitivas generalemente aceptadas.Si quieres, cuando enuncie los axiomas podemos discutir si te parecen «razonables» o no.

Así que por seguir el juego, dejo un enlace con el texto de «Lo que la tortuga dijo a Aquiles», historia que supongo será conocida por varios de los que leen este hilo, pero puede resultar una novedad para algún otro. Aunque he leído varias veces que Lewis Carroll quería presentar en esta historia un problema filosófico-matemático en clave de humor y no sé qué más, a mí me parece que más bien estaba abundando en el cachondeo. Pero doctores tiene la Iglesia...

Conocía el texto. Aquí la falacia se sigue de confundir entre axiomas y reglas lógicas.

Como contrapartida, voy a recordar —esto de memoria— una anecdotilla de Sáenz de Oíza, el arquitecto, que contaba que con ocasión de cortejar a la que luego fue su esposa, iba con ella de paseo por el campo y esas cosas, a la vera de un camino (rural, claro), y pasó una moto y va el Sáenz y le dice a la novia: «Nosécuantita, demuéstrame que esa moto anda». Y va Nosécuantita y contesta: «Fíjate si te demuestro que anda, que ya no está aquí». En su día, me quedé con los ojos a cuadros de que un individuo pretendiese y, lo que es más increíble, consiguiese, ligarse a una chica con esta clase de conversación. Son los estragos de una educación católica, seguramente. Ahora, cuando he recordado la anécdota en relación con este hilo sobre el infinito, veo claramente que Nosécuantita, creyendo sin duda que se cachondeaba del pretendiente, estaba haciendo filosofía. Y matemáticas. Qué tía.

¡Ah! ¿Que poniendo estas cosas no se liga? Pues vaya por Dios, voy a tener que buscarme otra manera.

[Juggernaut]

¡Ah! ¿Que poniendo estas cosas no se liga? Pues vaya por Dios, voy a tener que buscarme otra manera.

No, si ligar se podrá ligar...

... el problema será ver si "aquello" con lo que ligas queda encuadrado a primera vista en la definición de "mujer" o no.

Porque profesoras de estos temas en la facultad hemos tenido muchas, y ninguna cumple la propiedad anteriormente mencionada.

[Nicotin]

Vamos, que es un cachondeo. O dicho de otro modo, y vuelvo a la idea del principio: alguien ha establecido unas reglas previas, arbitrarias, y jugamos con ellas. Que yo eso lo puedo entender, y seguir, y hasta divertirme con ello, como ahora mismo me está pasando. Pero no deja de ser un juego.

Igualmente (no, más) arbitrarias son las reglas a las que llamamos "leyes" y tú te tiras de las bragas cuando te las mentan.

Todo el pensamiento humano está basado en esquemas arbitrarios que tratan de responder lo mejor posible a las intuiciones y percepciones que el ser humano tiene de su entorno, para englobarlas y dotarles de sentido.

Por ejemplo: la percepción -y la intuición- le dicen al hombre que 1+1=2, siempre y en toda condición. El 1+1=2, considerado como verdad universal, permite toda una serie de desarrollos intelectuales que sirvan para analizar el universo.

Pero el 1+1=2 no deja de ser una constante arbitraria, que percibimos y suponemos se cumple siempre, pero: ¿y si no fuera así? Por ejemplo, imaginemos la existencia de una partícula universal básica, verdaderamente indivisible, de la que se compone toda materia y energía. Llamémosla, por decir algo, "Átomo Absoluto". E imaginemos que cuando un AA se encuentra con otro AA y se unen, el resultado no es una "molécula" compuesta de 2 AA sino de 3, siendo el tercero exactamente igual a los dos primitivos. En tal caso, el universo se expandiría indefinidamente, ganando masa y volumen en un proceso eterno. Sólo que, al multiplicarse los AA por igual en todo el universo, las magnitudes relativas de los objetos permanecerían constantes, y no notaríamos esa variación.

Y ahora, valiéndonos del método científico, ¿cómo demostramos que no existen los AA, y que el encuentro entre dos AA no tiene como resultado la aparición de un tercer AA de la nada? Es decir, ¿cómo demostramos que, a ese nivel particular, no sería cierto el 1+1=3?

Lo que trato de decir es que los esquemas humanos de pensamiento se basan en la información que el ser humano puede conocer mediante los sentidos o la razón, pero, a la vez, sabemos que esa información es incompleta. Y lo sabemos porque hay muchas preguntas para las que no tenemos respuesta.

En el caso del infinito, toda descripción del mismo es puramente arbitraria, porque nace de la intuición, no de la observación directa. No sólo eso, sino que, tal vez, no exista nada infinito en el universo. En tal caso, cuando ni siquiera sabemos si existe el infinito, no podemos negar que el concepto de infinito no sea más que un juego intelectual al que nosotros mismos le hemos puesto las reglas (y es así para cualquier otro concepto abstracto). Y tampoco podemos criticar ese juego intelectual, porque toda idea se basa en construcciones arbitrarias. Quiero decir: ¿desde qué atalaya de certidumbre criticas tú la incertidumbre de los conceptos de, por ejemplo, Prez?

O tal vez es que te has llevado un disgusto al conocer la verdad sobre las matemáticas, y es que, pese a lo que mucha gente piensa, las mismas no son puramente abstractas, sino que una de sus patas es coja (como tú) y es la pata que se apoya en la percepción y la intuición.

En resumen: ¿son todos los infinitos iguales o no? Nunca lo sabremos, y lo que creamos dependerá únicamente de quién argumente mejor su postura.






PD: Lo del atleta y la tortuga siempre me ha parecido un simple artificio para pasar el rato. Es una pregunta "con trampa", y la trampa es presentarla en forma visual y poniéndonos en el lugar del atleta. Si nos ponemos en el lugar de la tortuga: cuando ésta ha recorrido 11 metros, el atleta ha recorrido 10. ¿Dónde estará la tortuga cuando el atleta haya recorrido otros 10 y esté en el metro 20? Pues la tortuga estará en el metro 12.

Sí, ya sé que es una pijada, pero es que el problema también es una pijada.